Тема 1. Урок 14. Площі і об’єми геометричних фігур

Символи

1. Знайомство з формулами площі квадрата та прямокутника, введення поняття одиниць площі.

2. Введення поняття про такі просторові геометричні фігури як прямокутний паралелепіпед та куб

3. Знайомство з одиницями об`єму, поняттями об`єму фігури.

4. Формування навичок обчислення площ та об`ємів геометричних фігур.

 П1. Площа. Площа прямокутника.

З такою величиною як площа ти часто зустрічаєшся у повсякденному житті: площа квартири, площа дачної ділянки, площа поля тощо. Як можна виміряти площу фігури? Нагадаємо, що для вимірювання відрізків ми вводили одиничний відрізок, а для вимірювання кутів — одиничний кут. Взагалі, якщо хочуть виміряти якусь величину, вводять одиницю виміру.

За одиницю виміру площі обирають площу квадрата, сторона  якого дорівнює одиничному відрізку.

Такий квадрат називають одиничним. 

Наприклад:

квадрат зі стороною 1 м має площу один квадратний метр (1 м²);

квадрат зі стороною 1 см має площу один квадратний сантиметр (1 см²);

квадрат зі стороною 1 мм має площу один квадратний міліметр (1 мм²) 

 Виміряти площу фігури означає підрахувати, скільки одиничних квадратів, вона містить. 

Так, площа  фігури, яка складається із 7 квадратів площею 1 см²,  дорівнює 7 см².

Але за допомогою формул можна швидше обчислити площу таких фігур як прямокутник та квадрат.

Правило обчислення:

Якщо одна сторона прямокутника дорівнює а одиничним відрізкам, а інша сторона — b одиничним відрізкам, то цей прямокутник можна розбити на а • b одиничних квадратів . Тому його площа дорівнює а • b квадратних одиниць.

Площа прямокутника дорівнює добутку довжин його сусідніх сторін:

S = аb,

де S — площа, а і b — довжини сусідніх сторін прямокутника, виражені в тих самих одиницях.

Оскільки у квадрата всі сторони рівні, то його площа обчислюється за формулою

S = а²,

де а — довжина сторони квадрата. Саме тому другий степінь числа називають квадратом числа.

Для спрощення виконання обчислень можна використати основні властивості площ:

·        якщо фігури рівні, то їхні площі рівні;

·        площа квадрата з одиничною стороною — одиничний квадрат;

·        якщо фігуру поділити на частини, то сума площ цих частин дорівнює площі фігури.

Для знаходження площ земельних ділянок використовують такі одиниці вимірювання як ар( 1 а) і гектар (1 га):

·        1 а = 10 м • 10 м = 100 м²,

·        1 га = 100 м • 100 м = 10 000 м².

·         У побуті 1 ар часто називають соткою.

Наприклад, для обчислення площі квадрата зі стороною 5 см, потрібно 5*5=25 см². Для знаходження  площі прямокутника зі сторонами 8см та 5 см, необхідно 8*5=40 см² . 

Щоб знайти площу земельної ділянки довжиною 15 м та шириною 10 м, треба 15*10= 150 м².

П2. Об`єми геометричних фігур

Можливо, коли ти був маленьким і грався кубиками, то складав фігури, які мають назву прямокутний паралелепіпед. 

Форму прямокутного паралелепіпеда мають коробка цукерок, книга, цеглина, коробка сірників, пакувальний ящик, пакет молока та інші предмети.

Прямокутний паралелепіпед

Зверху, знизу і з боків прямокутний паралелепіпед обмежений шістьма гранями. Кожна грань — це прямокутник.

Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда рівні.

Сторони граней називають ребрами паралелепіпеда, вершини граней — вершинами паралелепіпеда.

У прямокутного паралелепіпеда 12 ребер. Однак, щоб мати уявлення про його розміри, достатньо розглянути будь-які три ребра, що виходять з однієї вершини. Довжини цих ребер називають вимірамипрямокутного паралелепіпеда. Щоб їх розрізняти, користуються назвами: довжина, ширина, висота.

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі виміри рівні, називають кубом.

Наприклад: форму куба має відомий кубик - рубік.

Як і у випадках з іншими величинами (довжина, площа), треба ввести одиницю виміру об'єму.

За одиницю виміру об'єму обирають об'єм куба, ребро якого дорівнює одиничному відрізку.

Такий куб називають одиничним.

Для вимірювання об'ємів застосовують такі одиниці:

 кубічний міліметр (мм³), 

кубічний сантиметр (см³),

 кубічний дециметр (дм³), 

кубічний метр (м³), 

кубічний кілометр (км³).

Наприклад, кубічний дециметр — це об'єм куба з ребром 1 дм.

Таку одиницю виміру об'єму для рідин і газів ще називають літром.

Виміряти об'єм фігури  означає підрахувати, скільки одиничних кубів вона містить.

 Якщо довжина, ширина і висота прямокутного паралелепіпеда відповідно дорівнюють a, b, с одиничним відрізкам, то цей паралелепіпед неважко розбити на а • b • с одиничних кубів . А тому його об'єм дорівнює a' b ' с кубічних одиниць.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів:

V = abc,

де V — об'єм, a, b і с — виміри паралелепіпеда, виражені в тих самих одиницях.

Задача. Знайди об`єм геометричної фігури, зображеної на малюнку. (Рішення внизу малюнка).

Оскільки у куба всі ребра рівні, то його об'єм обчислюється за формулою

V = а³,

де а — довжина ребра куба. Саме тому третій степінь числа називають кубом числа.

Приклад: Знайти об`єм прямокутного паралелепіпеда, який має виміри 4 см, 5 см та 3 см. За формулою

V=4*5*3= 60 см³

Для обчислення об`єму куба зі стороною 5 см необхідно V=5*5*5=125 см³.

     Обчислення площ геометричних фігур

І рівень складності.

Задача. Обчислити площу прямокутника зі сторонами:

1)    14 см і 8 см; 2) 14 см і 80 мм; 3) 14 см і друга в 2 рази менша.

Рішення:

1)    скористуємось формулою знаходження площі прямокутника,

                                          

 S=14*8=112 см²;

2)    Спочатку потрібно 80 мм перевести в см, отже 80 мм=8 см і S=14*8=112 см²;

3)    Знайдемо другу сторону 14/2=7 см, потім за формулою S=14*7=98 см²

Обчислити площу квадрата, якщо:

1)    сторона 7 дм;

2)    периметр 24 см;

3)    його периметр дорівнює периметру прямокутника зі сторонами 10 і 12 см.

Рішення:

1)    за формулою обчислення площі квадрата

                                                                         S=7*7=49 см²;

2)    якщо периметр 24 см, то сторона квадрата 24/4=6 см, отже його площа S=6*6=36 см^2;

3)    знайдемо периметр прямокутника Р=2*(10+12)=2*22=44 см, а периметр квадрата дорівнює периметру прямокутника, отже сторона квадрата 44/4=11 см, тоді його площа 11*11=121 см².

4) знайти площу геометричної фігури.

Розв`яжи самостійно завдання.

1.     Яка площа квадрата зі стороною 9 см?

2.     Яка площа прямокутника зі сторонами 5 см і 3 см?

3.     Периметр квадрата 20 см. Знайти його площу

4.     Площа прямокутника 126 см², його довжина – 21 см. Чому дорівнює ширина прямокутника.

Для того, щоб ти став успішною людиною, необхідно швидко і правильно уміти переходити від одних одиниць вимірювання площ до інших. Давай навчимося це робити.

                                  

Завдання:

1. 1) Скільки квадратних сантиметрів містить 1 дм^2, 1 м^2,   1 га, 1а ?

      Рішення: 1 дм² =100 см²,  1 м2=100 дм²,   1 га=100 а,  1а=100 м².

     2) Скільки квадратних метрів містить 1 км²?

     Рішення: 1 км²=100 га=100*10000 = 1000000 м2.

^2. Виразіть:

1) в арах: 12 га; 45 га; 6 га 28 а; 14 га 68 а; 32 400 м²; 123 800 м²; 2 км² 14 га 5 а;

4 -км² 72 га 16 а;

2) у квадратних метрах: 5 а; 17 а; 8 га; 63 га;

5 га 72 а; 14 га 43 а;

3) у гектарах і арах: 530 а; 1204 а; 16 300 м²; 85 200 м².

3.  Виразіть:

1) у квадратних сантиметрах: 8 дм²; 16 дм²; 4 м²; 38 м²; 16 м² 19 дм²; 74 м² 3 дм²;

2) у гектарах: 340 000 м²; 5 830 000 м²; 53 км²; 14 км²; 5 км² 18 га; 24 км² 6 ва2. 

1.     Скільки сантиметрів у 1 м [міліметрів у 1 дм]? Відповідь: 100 см, 100мм

2.     Яку довжину має сторона квадрата, якщо його площа 1 га [1 ар]? Відповідь: 100 м, 10 м

3.     Скільки квадратів зі стороною 1м  міститься у 1 арі [1 га]? Відповідь: 100, 10000

4.     Виразити у квадратних метрах 3 ари [5 арів].  Відповідь: 300, 500

5.     Виразити у квадратних метрах  30 га [500 га]. Відповідь: 300000, 5000000.

ІІ рівень складності.

1. Чи вистачить 5 т гороху, щоб засіяти ним поле, що має форму прямокутника зі сторонами 500 м і 400 м, якщо на 1 га землі треба висіяти 260 кг гороху?

Рішення: знайдемо площу прямокутної ділянки S= 500*400=200000 м²=20 га , 20*260=5200 кг=5 т 200 кг гороху.

Відповідь: не вистачить.

 2.  Батько вирішив обкласти кахлем стіну кухні, довжина якої дорівнює 6 м, а висота — 3 м. Чи вистачить йому 5 ящиків кахлю, якщо одна плитка має форму квадрата зі стороною 15 см, а в один ящик уміщується 160 плиток?

Рішення: знайдемо площу стіни S=6*3=18 м² ,  1 м²=100 дм²=100*100=10000 см² , обчислимо загальну площу 5 ящиків кахлю (1 плитка S=15*15=225 см²) , 5*160*225=180000 см²=18 м²

Відповідь: кахлю вистачить.

3.  Фермер Петро Працелюб посіяв огірки у теплиці, довжина якої дорівнює 16 м 50 см, а ширина — 12 м. Скільки кілограмів огірків збере він у своїй теплиці, якщо з 1 м² збирають 30 кг огірків? Рішення дивись у задачі 1.

4.  Витрати емалевої фарби ПФ-115 на одношарове покриття становлять 180 г на 1 м². Чи вистачить 3 кг емалі, щоб пофарбувати стіну довжиною 6 м і висотою 3 м? Рішення дивись у задачі 2.

Весела майстерня 

1. Знайди розгортки прямокутного паралелепіпеда та куба. Виготуй моделі цих геометричних фігур, вибравши розміри на власний вибір. Обчисли об`єми даних фігур, використавши отримані знання.

2. Візьми  прямокутний лист паперу площею, яка дорівнює 12 см². Скільки квадратів площею 4 см²можна вирізати з цього прямокутника?

Виріжи ці прямокутники, зроби висновки.

3. Подумай, як  можна розрізати квадрат на кілька частин так, щоб з них можна було скласти два квадрати, довжини сторін яких виражаються цілим числом сантиметрів, якщо сторона даного квадрата дорівнює:

1) 5 см;

2) 6 см?

Чи завжди задача буде мати рішення?  

Знаходження об`ємів геометричних фігур 

1. Виміри прямокутного паралелепіпеда  дорівнюють 9 см, 5 см і 6 см. Обчисліть суму довжин усіх його ребер та його об`єм.  

Рішення:  сума довжин ребер (9+5+6)*4=80 см, об`єм V=9*5*6=270 см³.

2. Знайдіть суму довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда та його об`єм, виміри якого дорівнюють 13 см, 16 см, 21 см.

Виконай завдання самостійно. 

3. Знайдіть суму довжин усіх ребер та площу поверхні куба, якщо його ребро дорівнює 7 см. 

Рішення: сума довжин ребер 12*7=84 ( у куба всі ребра рівні між собою), об`єм V=7*7*7=343 см³ .

4. Чому дорівнює об'єм куба, ребро якого 6 см?  Виконай самостійно.

      

1. Виразіть:

1) у кубічних міліметрах: 7 см³; 38 см³; 12 см³ 243 мм³; 42 см³ 68 мм³; 54 см³ 4 мм³; 1 дм³ 20 мм³; 18 дм³ 172 см³;

2) у кубічних дециметрах: 4 м³; 264 м³; 10 м³ 857 дм³; 28 м³ 2 дм³; 44 000 см³; 5 430 000 см³.  

Рішення: 1) 7 см³ = 7000 мм³ , 172 см³ = 172000 мм³

                2)  4 м³ =4000 дм³ ,    10 м³ 857 дм³  = 10857 дм³

 Інші приклади виконай самостійно. 

2 . Виразіть у кубічних сантиметрах: 8 дм³; 62 дм³; 378 000 мм³; 520 000 мм³; 78 дм³ 325 см³; 

Використай таблицю  

3. Ребро одного куба в 4 рази більше за ребро другого. У скільки разів об'єм першого куба більший за об'єм другого? 

Відповідь: у 64 рази. Поясни чому ? 

4. Як зміниться об'єм прямокутного паралелепіпеда, якщо:

1) кожний вимір збільшити у 2 рази; (відповідь: збільшиться у 8 разів)

2) довжину зменшити в 3 рази, ширину збільшити в 15 разів, висоту зменшити в 5 разів? ( відповідь: не зміниться)

5. У басейн, площа дна якого дорівнює 1 га, налили мільйон літрів води. Чи можна в цьому басейні провести змагання з плавання серед учнів п'ятого класу?